Question

（本小題滿(mǎn)分13分）如圖所示的“8”字形曲線(xiàn)是由兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的半圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是，雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)、是該圓與軸的交點(diǎn)，雙曲線(xiàn)與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn)．

（1）試求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為、，試在“8”字形曲線(xiàn)上求點(diǎn)，使得是直角．

Answer 1

（1）;（2）

都可使得是直角．

【解析】

試題分析：（1）雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)、是該圓與軸的交點(diǎn)，可令，得到雙曲線(xiàn)左、右頂點(diǎn)為、，即，令，得到雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

即．

進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)方程為；

（2）要使是直角，則應(yīng)使，為此可設(shè)點(diǎn)，由（1）得雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得

，此時(shí)應(yīng)分兩種情況考慮點(diǎn)的位置：點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，聯(lián)立，點(diǎn)在上半圓上，聯(lián)立解出方程組的解即為點(diǎn)的坐標(biāo)．試題解析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，在已知圓的方程中，令，

得，即，則雙曲線(xiàn)左、右頂點(diǎn)為、，于是 2分

令，可得，解得，

即雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則∴． 4分

所以所求雙曲線(xiàn)方程為 6分

（2）由（1）得雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)， 7分

當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，

①點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，得，

由，得由，解得所以 10分

②若點(diǎn)在上半圓上，則，由，

得，由無(wú)解 12分

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別為

13分

考點(diǎn)：1、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．