Question

已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=2n+1恒成立．
①求數(shù)列{b_n}的通項公式；
②求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅的值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題①利用數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系，得到

bn

an

的表達(dá)式，再利用數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
②由①知數(shù)列{b_n}的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式，求出b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：①∵對任意自然數(shù)n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=2n+1恒成立，
∴當(dāng)n=1時，

b1

a1

=3，
∵等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，
∴b₁=3a₁=3．
當(dāng)n≥2，n∈N^*時，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=2n-1，
∴

bn

an

=2，
∵等比數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，
∴b_n=2×3^n-1，n≥2，n∈N^*．
∴b_n=

3，n=1 2×3n-1，n≥2，n∈N*

．
②記S=b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅，
由①知：b_n=

3，n=1 2×3n-1，n≥2，n∈N*

，
∴S=3+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3²⁰⁰⁴
=3+

6(1-32004)

1-3

=3×2²⁰⁰⁴．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅=3×2²⁰⁰⁴．

點評：本題考查了數(shù)列的前n項和與數(shù)列通項的關(guān)系，還考查了等比數(shù)列的求和公式、分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，計算量不大，屬于中檔題．