Question

已知函數f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）當a=2，b=0時，寫出函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）設x∈[0，

π

2

]，若f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實數a，b的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，根據正弦函數的性質求得函數的單調減區(qū)間．
（2）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，根據x的范圍和正弦函數的單調性確定函數的最大和最小值的表達式，列方程求得a和b．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2

3

cos²x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

5

12

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函數的單調減區(qū)間為[kπ+

5

12

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）f（x）=a（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+b=asin（2x-

π

3

）+b，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴

a+b= 3 - 3 a 2 +b=-2

或

a+b=-2 - 3 2 a+b= 3

，
求得a=2，b=

3

-2，或a=-2，a=

3

+2．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．第2問中注意對a大于0和a小于0分情況求解．