Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，以下給出四個判斷①公差d＜0；�、赟₂₀₁₁=2011；�、踑₁₀₀₀＜1；�、躍_n有最大值，其中正確判斷的序號是

 

．（填寫所有正確判斷的序號）

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：構造函數f（x）=x³+5x，由函數的單調性和奇偶性以及等差數列的性質，逐個選項驗證可得．

解答： 解：構造函數f（x）=x³+5x，可得函數f（x）=x³+5x是奇函數，
由條件可得f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，
求導數可得f′（x）=3x²+5＞0，∴函數f（x）=x³+5x是單調遞增的，
∵f（a₂-1）=1＞f（a₂₀₁₀-1）=-1，
∴a₂-1＞a₂₀₁₀-1，且a₂-1=-（a₂₀₁₀-1）
∴a₂＞0＞a₂₀₁₀，且a₂+a₂₀₁₀=2，可得①公差d＜0正確；
又S₂₀₁₁=

a1+a2011

2

×2011=

a2+a2010

2

×2011=2011，可得②S₂₀₁₁=2011正確；
又S₂₀₁₁=

a2+a2010

2

×2011=

2a1006

2

×2011=2011a₁₀₀₆=2011，∴a₁₀₀₆=1，
由數列單調遞減可得a₁₀₀₀＜a₁₀₀₆=1，故③正確，
由公差d＜0和二次函數的性質可知④S_n有最大值正確．
故答案為：①②③④

點評：本題考查等差數列的性質，涉及函數的單調性和奇偶性，屬中檔題．