Question

如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長(zhǎng)為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：過(guò)O點(diǎn)做OC⊥AP，表示出y，根據(jù)基本不等式，得到y(tǒng)的最大值，并求出此時(shí)x=

2

，再利用換元法，設(shè)x=2sinθ，θ∈（0，

π

2

），得到y(tǒng)=

1

2

sin2θ，可以得出函數(shù)的圖象是類似于正弦函數(shù)的圖象，問(wèn)題得以解決

解答： 解：過(guò)O點(diǎn)做OC⊥AP，如圖，AC=

1

2

AP=

1

2

x，
在Rt△AOC中，OA=

1

2

AB=1，
∴OC=

OA2-AC2

=

1- 1 4 x2

=

1

2

4-x2

，
∴y=

1

2

OC•AP=

1

4

x•

4-x2

=

1

4

x2(4-x2)

≤

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)取等號(hào)，
設(shè)x=2sinθ，θ∈（0，

π

2

），
則y=

1

2

sin2θ，
則y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致類似于正弦函數(shù)圖象（光滑的曲線），
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，求函數(shù)的解析式法，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．