已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).
(1)若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=x且c=2,求雙曲線(xiàn)的方程;
(2)以原點(diǎn)O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為A,過(guò)A作圓的切線(xiàn),斜率為-,求雙曲線(xiàn)的離心率.
解 (1)∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±x,∴a=b.
∴c2=a2+b2=2a2=4,∴a2=b2=2.
∴雙曲線(xiàn)方程為-=1.
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0),
∴直線(xiàn)AO的斜率滿(mǎn)足·(-)=-1,∴x0=y0,①
依題意,圓的方程為x2+y2=c2,
將①代入圓的方程得3y+y=c2,即y0=c.
∴x0=c,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
代入雙曲線(xiàn)方程得
即b2c2-a2c2=a2b2.②
又∵a2+b2=c2,
∴將b2=c2-a2代入②式,整理得c4-2a2c2+a4=0.
∴∴(3e2-2)(e2-2)=0.
∵e>1,∴e=,∴雙曲線(xiàn)的離心率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
直線(xiàn)y=x+m與圓x2+y2=16交于不同的兩點(diǎn)M,N,且,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-2,-]∪[,2)
B.(-4,-2]∪[2,4)
C.[-2,2]
D.[-2,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,漸近線(xiàn)分別為l1,l2,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A. B.2
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)x2-=1的漸近線(xiàn)的距離是( )
A. B.
C.1 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的距離|MF|=4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成△MAB,且直線(xiàn)MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C,試求軌跡C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某中學(xué)有高中生3 500人,初中生1 500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為( )
A.100 B.150
C.200 D.250
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