【題目】定義在R上的函數f(x)=ax2+x.
(Ⅰ)當a>0時,求證:對任意的x1,x2∈R都有[f(x1)+f(x2)]成立;
(Ⅱ)當x∈[0,2]時,|f(x)|≤1恒成立,求實數a的取值范圍;
(Ⅲ)若a=,點p(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函數y=f(x)圖象上的點,求m,n.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(II)-≤a≤-(Ⅲ)m=n=0或者m=-4,n=0
【解析】
(Ⅰ)作差比較;
(Ⅱ)分離變量后再將恒成立轉化為最值;
(Ⅲ)根據兩個整數的和與積都為偶數,得這兩個整數均為偶數.
解:(Ⅰ)證明:∵[f(x1)+f(x2)]-f()
=(ax12+x1+ax22+x2)-a()2-
=,
∵a>0,∴[f(x1)+f(x2)]-f()≥0,
∴[f(x1)+f(x2)]≥f().
(Ⅱ)當x=0時,|f(x)|≤1顯然成立,此時a∈R;
當x∈(0,2]時,|f(x)|≤1-1≤ax2+x≤1≤a≤
-()2-≤a≤()2-恒成立,
∵x∈(0,2],∴-()2-有最大值-,()2-有最小值-,
∴-≤a≤-.
(Ⅲ)∵a=,∴f(x)=x2+x,
∵P(m,n2)在函數f(x)的圖象上,∴m2+m=n2,
變形得(m+2)2-4n2=4,
∴(m+2-2n)(m+2+2n)=4,且m∈Z,n∈Z,
∵(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4為偶數,
∴m+2-2n與m+2+2n同為偶數,
∴或
解得:或
故答案為:m=n=0或者m=-4,n=0.
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【題目】下列敘述:
①化簡的結果為﹣.
②函數y=在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)上是減函數;
③函數y=log3x+x2﹣2在定義域內只有一個零點;
④定義域內任意兩個變量x1,x2,都有,則f(x)在定義域內是增函數.
其中正確的結論序號是_____
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【題目】已知數列{an}的首項為1,Sn為數列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+
(1)若a2 , a3 , a2+a3成等差數列,求數列{an}的通項公式;
(2)設雙曲線x2﹣ =1的離心率為en , 且e2=2,求e12+e22+…+en2 .
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【題目】設函數f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對數的底數.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)證明:當x>1時,g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,點M為PC的中點.
(1)求證:PA∥平面BMD;
(2)求證:AD⊥PB;
(3)若AB=PD=2,求點A到平面BMD的距離.
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【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC的邊長AB=1,側棱長為,P是A1B1的中點,E、F、G分別是AC,BC,PC的中點.
(1)求FG與BB1所成角的大;
(2)求證:平面EFG∥平面ABB1A1.
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