Question

已知函數(shù)g（x）=e^x，f（x）=

-g(x)+a

e•g(x)+b

，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于t的方程f（2t²-mt）+f（1-t²）=0有兩個根α、β，且α＞0，1＜β＜2，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，借助與一元二次函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=

-e0+a

e+b

=0，即a=1．又f（-1）=-f（1），即

-e-1+1

e0+b

=-

-e+1

e2+b

，可得b=c．
所以f（x）=

-ex+1

ex+1+c

．
又f（-x）=

-e-x+1

e-x+1+e

=

-1+ex

e+ex+1

=-

-ex+1

ex+1+e

=-f(x)，
所以a=1，b=e成立．
（2）f（x）=

-ex+1

ex+1+e

=

1

e

(-1+

2

ex+1

)，易得f（x）在R上單調(diào)遞減．
方程f（2t²-mt）+f（1-t²）=0可轉(zhuǎn)化為f（2t²-mt）=-f（1-t²），又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則
f（2t²-mt）=f（t²-1）．又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
所以2t²-mt=t²-1，即t²-mt+1=0．
考慮函數(shù)h（t）=t²-mt+1，
（i）若α=1或2，則m=2或

5

2

，易得β=1或

1

2

或2，與β∈（1，2）矛盾；
（ii）若0＜α＜1或α＞2，則h（1）h（2）＜0，即（2-m）（5-2m）＜0，2＜m＜

5

2

；
（iii）若1＜α＜2，則只需滿足

(-m)2-4≥0 1＜ m 2 ＜2 h(1)＞0，h(2)＞0

，m∈∅，
由以上（i）、（ii）、（iii）可知2＜m＜

5

2

．

點評：本題主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)．