Question

【題目】已知在數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若an＞0，且4Sn=an2+2an+1（n∈N*），數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比q＞1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差數(shù)列．

（1）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）令cn= ，若{cn}的前項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜6．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)得遞推關(guān)系，化簡(jiǎn)得 ，根據(jù)等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式得 ，由待定系數(shù)法求數(shù)列{bn}公比為2，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn=2n-1（2）利用錯(cuò)位相減法求和 ，再證結(jié)論；利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，注意相減時(shí)項(xiàng)的符號(hào)變化，中間部分利用等比數(shù)列求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)，最后要除以

試題解析：解：（1）由4Sn=an2+2an+1（n∈N*），n=1時(shí)，4a1=+2a1+1，解得a1=1．

n≥2時(shí)，4Sn-1=+2an-1+1，相減可得：4an=-，化為：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又an＞0，∴an-an-1-2=0，即an-an-1=2，

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2． ∴an=1+2（n-1）=2n-1．

b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差數(shù)列．

∴2b4=2b2+3b3．∴=2b2+3b2q，化為：2q2-3q-2=0，q＞1，解得q=2．

∴bn=2n-1．

（2）證明：cn==．

{cn}的前項(xiàng)和為Tn=1++…+， Tn=+…++，

∴Tn=1+2-=1+2×-，

∴Tn=6-＜6．