Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=

π

3

，AD=2，AM=1，E是AB的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥NC；
（Ⅱ）求三棱錐E-MDC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可證明DE⊥NC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD，利用V_E-MDC=V_M-EDC，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=

3

．
∴AD²=AE²+DE²，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC   …①…（2分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交線AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE  …②…（4分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）
∴DE⊥NC．  …（8分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．
∴V_E-MDC=V_M-EDC=

1

3

SEDC•MA=

1

3

×

1

2

×2×

3

×1=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐E-MDC的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．