【題目】已知橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）由離心率列方程可求得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線BD過點(diǎn)（2，0）．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x-1），聯(lián)立方程組，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件求出直線BD過x軸上的定點(diǎn)．

（1）解：由題意可得,解得，

所以橢圓C的方程為 ．

（2）直線BD恒過x軸上的定點(diǎn)N（2，0）．證明如下

（a）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，

不妨設(shè)A（1，），B（1，），D（3，）．

此時(shí)，直線BD的方程為：y=（x-2），所以直線BD過點(diǎn)（2，0）．

（b）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB為y=k（x-1），D（3，y1）．

由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．

所以x1+x2=，x1x2=．……（*）

直線BD：y-y1=（x-3），只需證明直線BD過點(diǎn)（2，0）即可.

令y=0，得x-3=，所以x===

即證，即證.

將（*）代入可得.

所以直線BD過點(diǎn)（2，0）

綜上所述，直線BD恒過x軸上的定點(diǎn)（2，0）．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度得到g（x）的圖象，給出下列四個(gè)命題：

①函數(shù)f（x）的表達(dá)式為；

②g（x）的一條對稱軸的方程可以為；

③對于實(shí)數(shù)m，恒有；

④f（x）+g（x）的最大值為2．其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，.

（1）求的解析式，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，且對任意的恒成立，求k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．

（1）若函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=4x+3，求a的值；

（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，討論c（x）的單調(diào)性；

（3）a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的所有點(diǎn)都落在區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．線段OM上的動(dòng)點(diǎn)A滿足；線段HN上的動(dòng)點(diǎn)B滿足．直線PA與直線QB交于點(diǎn)L，設(shè)直線PA的斜率記為k，直線QB的斜率記為k'，則kk'的值為______；當(dāng)λ變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)L一定在______（填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個(gè)）上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,,，，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)

②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)

③直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)

④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程為，直線過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱的底面是等邊三角形，側(cè)面底面，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求平面將該三棱柱分成上下兩部分的體積比.

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