Question

設f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函數（常數a，b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）最值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函數（常數a，b∈R）的定義可以判斷a，b的值，
（2）變形為當x=0時，f（0）=0，當x≠0時，f（x）=

1

x+ 1 x

，利用均值不等式求解可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函數（常數a，b∈R）．
∴f（0）=0，即

0+a

1

=0，a=0
∴f（x）=

x

x2+bx+1

，f（-x）=-

x

x2-bx+1

，
∴bx=-bx，b=0，
故a=0，b=0，
（2）f（x）=

x

x2+1

，
當x=0時，f（0）=0，
當x≠0時，f（x）=

1

x+ 1 x

，
∵y=x+

1

x

的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴f（x）=

x

x2+1

的值域為[-

1

2

，

1

2

]
故f（x）最大值為

1

2

，f（x）最小值為-

1

2

．

點評：本題綜合考察了函數的性質，在求解函數值域中的應用，屬于中檔題，容易忽略x=0．