Question

一般地，如果函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“保域函數(shù)”，下列函數(shù)中是“保域函數(shù)”的有

 

．（填上所有正確答案的序號(hào)）
①f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]；  
②f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]；
③f₃（x）=x³-3x，x∈[-2，2]；
④f₄（x）=x-lnx，x∈[1，e²]；
⑤f₅（x）=

2x

x2-x+1

，x∈[0，2]．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出題目中所給5個(gè)函數(shù)的值域，根據(jù)已知中“保域函數(shù)”的定義逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答： 解：對(duì)于①，f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]的值域?yàn)閇-1，0]，不符合，故①舍去；
對(duì)于②，f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]的值域?yàn)?span id="ehtgjot" class="MathJye">[0，

π

2

]，故②正確；
對(duì)于③，f′3(x)=3x2-3，于是f₃（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，其值域?yàn)閇-2，2]，故③正確；
對(duì)于④，f′4(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，f4(x)=x-lnx，x∈[1，e2]單調(diào)遞增，其值域?yàn)閇1，e²-2]，不符合題意，故④舍去；
對(duì)于⑤，f₅（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f5(x)=

2

x+ 1 x -1

≤2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），其值域?yàn)閇0，2]，故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，其中熟練掌握求函數(shù)值域的方法，并正確理解保域函數(shù)”的定義是解答的關(guān)鍵．