Question

一般地，如果函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“保域函數”，下列函數中是“保域函數”的有

 

．（填上所有正確答案的序號）
①f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]；  
②f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]；
③f₃（x）=x³-3x，x∈[-2，2]；
④f₄（x）=x-lnx，x∈[1，e²]；
⑤f₅（x）=

2x

x2-x+1

，x∈[0，2]．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：函數的性質及應用

分析：求出題目中所給5個函數的值域，根據已知中“保域函數”的定義逐一進行判斷，即可得到答案．

解答： 解：對于①，f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]的值域為[-1，0]，不符合，故①舍去；
對于②，f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]的值域為[0，

π

2

]，故②正確；
對于③，f′3(x)=3x2-3，于是f₃（x）在（-2，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，其值域為[-2，2]，故③正確；
對于④，f′4(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，f4(x)=x-lnx，x∈[1，e2]單調遞增，其值域為[1，e²-2]，不符合題意，故④舍去；
對于⑤，f₅（0）=0，當x＞0時，0＜f5(x)=

2

x+ 1 x -1

≤2（當且僅當x=1時，等號成立），其值域為[0，2]，故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點評：本題考查的知識點是函數的值域，其中熟練掌握求函數值域的方法，并正確理解保域函數”的定義是解答的關鍵．