【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；

（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）

【解析】

(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.

(2) ,若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.

(1)證明：當(dāng)時(shí),,則,

當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,

所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.

(2),因?yàn)?/span>,所以,

①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,沒(méi)有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,所以存在,使

當(dāng)時(shí),時(shí),

所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).

綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的命題中正確的是（ ）

A.函數(shù)是奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

C.在上是增函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，決定盤(pán)活貧困村的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展要素，實(shí)施了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、就業(yè)“三業(yè)并舉”工程.在實(shí)施過(guò)程中，引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶(hù)因地制宜開(kāi)展種植某經(jīng)濟(jì)作物.該類(lèi)經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來(lái)衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)的等級(jí)劃分如下表1：

表1

質(zhì)量指標(biāo)值

產(chǎn)品等級(jí)

優(yōu)秀品

良好品

合格品

不合格品

為了解該類(lèi)經(jīng)濟(jì)作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益，當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個(gè)品種.并隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)品種的各件產(chǎn)品，測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值頻率分布直方圖（圖1和圖2）.

（1）若將頻率視為概率，從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取件，記“抽出乙品種產(chǎn)品中至少件良好品或以上”為事件，求事件發(fā)生的概率；(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后位)(參考數(shù)值：，)

（2）若甲、乙兩個(gè)品種的銷(xiāo)售利潤(rùn)率與質(zhì)量指標(biāo)值滿(mǎn)足表2

表2

質(zhì)量指標(biāo)值

銷(xiāo)售利潤(rùn)率

其中，試分析，從長(zhǎng)期來(lái)看，種植甲、乙哪個(gè)品種的平均利潤(rùn)率較大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作．卷八中第33問(wèn)：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè)．問(wèn)該若干？”如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)S為（ ）

A.28B.56C.84D.120

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (a為常數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】三個(gè)班共有名學(xué)生，為調(diào)查他們的上網(wǎng)情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：

班

班

班

（1）試估計(jì)班的學(xué)生人數(shù)；

（2）從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率；

（3）從A班抽出的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，從B班抽出的7名學(xué)生中隨機(jī)選取1人，求這3人中恰有2人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)15小時(shí)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，過(guò)的直線與y軸交于點(diǎn)M，滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且直線l與直線之間的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足？存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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