Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，且，，三點(diǎn)不共線.

（1）求橢圓的方程；

（2）求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）；

（2），除去四個(gè)點(diǎn)，，，；

（3），點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的頂點(diǎn)得橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義得的值，利用即可得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，先寫出，，，的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件可得，，代入，化簡(jiǎn)，即可得點(diǎn)的軌跡方程；（3）先計(jì)算的面積，利用基本不等式即可得的面積的最大值.

試題解析：（1）解法1： ∵ 雙曲線的頂點(diǎn)為,, 1分

∴ 橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.

設(shè)橢圓方程為，

∵ 橢圓過點(diǎn)，

∴ ，得. 2分

∴ . 3分

∴ 橢圓的方程為 . 4分

解法2: ∵ 雙曲線的頂點(diǎn)為,, 1分

∴ 橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.

設(shè)橢圓方程為，

∵ 橢圓過點(diǎn)，

∴ . ① 2分

∵ , ② 3分

由①②解得, .

∴ 橢圓的方程為 . 4分

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，

∴，，，.

由 , 得 ， 5分

即 . ①

同理, 由, 得 . ② 6分

①②得 . ③ 7分

由于點(diǎn)在橢圓上, 則，得,

代入③式得 .

當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)，則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 8分

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得 ，

解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

同理, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

∴點(diǎn)的軌跡方程為 , 除去四個(gè)點(diǎn),, ,. 9分

解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，

∵，，

∴，.

∴，① 5分

. ② 6分

①② 得 . (*) 7分

∵ 點(diǎn)在橢圓上, ∴ ，得,

代入(*)式得，即,

化簡(jiǎn)得 .

若點(diǎn)或, 此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 8分

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得 ，

解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

同理, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

∴點(diǎn)的軌跡方程為 , 除去四個(gè)點(diǎn),, ,. 9分

(3) 解法１：點(diǎn)到直線的距離為.

△的面積為 10分

. 11分

而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

∴. 12分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等號(hào)成立.

由解得或 13分

∴△的面積最大值為, 此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 14分

解法２：由于，

故當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，△的面積最大． 10分

設(shè)與直線平行的直線為，

由消去，得，

由，解得． 11分

若，則，；若，則，． 12分

故當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，△的面積最大，其值為

． 14分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、雙曲線的方程；3、直線與圓錐曲線；4、基本不等式；5、三角形的面積；6、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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