Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log a

1

1-x

．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
②當(dāng)a＞1，且x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由題意可得，要解的不等式即 loga

(x+1)2

-x+1

≥0，故有

x+1＞0 -x+1＞0 0＜ (x+1)2 -x+1 ≤1

，由此求得不等式的解集．
②由題意可得 loga

(x+1)2

-x+1

 的最小值大于或等于m，即

(x+1)2

-x+1

≥a^m．利用函數(shù)y=

(x+1)2

-x+1

的單調(diào)性求得

(x+1)2

-x+1

取得最小值為1，可得1≥a^m，由此求得m的取值范圍．

解答： 解：①由題意知g（x）=-log_a（-x+1），當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式2f（x）+g（x）≥0，即2log_a（x+1）-log_a（-x+1）≥0，
即 loga

(x+1)2

-x+1

≥0，∴

x+1＞0 -x+1＞0 0＜ (x+1)2 -x+1 ≤1

，求得-1＜x≤0，故不等式的解集為（-1，0]．
②當(dāng)a＞1，且x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，即 loga

(x+1)2

-x+1

≥m恒成立．
故 loga

(x+1)2

-x+1

 的最小值大于或等于m，即

(x+1)2

-x+1

≥a^m．
由于函數(shù)y=

(x+1)2

-x+1

在[0，1）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=0時(shí)，y=

(x+1)2

-x+1

取得最小值為1，∴1≥a^m，解得m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．