Question

已知點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，M是拋物線上任意一點(diǎn)，則當(dāng)|MF|+|MA|取得最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義，把|MF|+|MA|轉(zhuǎn)化為|MA|+|PM|，利用當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|PM|取得最小值，把y=1代入拋物線y²=4x，解得x值，即得M的坐標(biāo)．

解答： 解：由題意得 F（1，0），準(zhǔn)線方程為 x=-1，
設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=2+1=3，
將y=1，代入y²=4x，可得x=

1

4

，
∴使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為（

1

4

，1）．
故答案為：（

1

4

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．