Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

（x+1）²，若存在t∈R，只要x∈[1，m]（m＞1），就有f（x+t）≤x，則m的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=f（x+t）-x=

1

4

（x+t+1）²-x=

1

4

x²+

1

2

（t-1）x+

1

4

（t+1）²，從而得到g（1）≤0且g（m）≤0；從而得到-4≤t≤0；再由圖象變換知，f（x+t）可看作f（x）向右平移|t|個(gè)單位得到，故平移量最大時(shí)，m有最大值，從而取t=-4，求m即可．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x+t）-x=

1

4

（x+t+1）²-x=

1

4

x²+

1

2

（t-1）x+

1

4

（t+1）²，
則結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知，
g（1）≤0且g（m）≤0；
由g（1）≤0知，

1

4

（1+t+1）²-1≤0，
解得，-4≤t≤0；
而f（x+t）可看作f（x）向右平移|t|個(gè)單位得到，
故平移量最大時(shí)，m有最大值，
則g（m）=

1

4

（m+t+1）²-m≤0可化為

1

4

（m-4+1）²-m≤0；
即m²-10m+9≤0；
解得，m∈[1，9]；
故m的最大值是9；
故答案為：9．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及函數(shù)的變換，理解較難，屬于中檔題．