Question

已知△ABC中，∠A=2∠B，∠C為鈍角，且∠A、B、C所對的邊為a，b，c的長度均為整數(shù)，則△ABC的周長最小值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，利用倍角公式擴大a=

bsin2B

sinB

=2bcosB，c=

bsin3B

sinB

=3b-4bsin²B=3b-4b（1-cos²B），化為c=

a2

b

-b．由于A=2B，C=π-A-B=π-3B＞

π

2

，可得0＜B＜

π

6

．可得

3

2

＜cosB＜1．利用1.732b＜a＜2b，能取得的最小整數(shù)是b=4，a=7，又

a2

b

是整數(shù)，因此取得最小值為b=16，a=28．c=33．即可得出．

解答： 解：由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴a=

bsin2B

sinB

=2bcosB，c=

bsin3B

sinB

=

b(3sinB-4sin3B)

sinB

=3b-4bsin²B=3b-4b（1-cos²B），
∴c=3b-4b[1-(

a

2b

)2]，
化為c=

a2

b

-b．
∵A=2B，C=π-A-B=π-3B＞

π

2

，可得0＜B＜

π

6

．
∴

3

2

＜cosB＜1．
∴1.732b＜a＜2b，能取得的最小整數(shù)是b=4，a=7，
又c=

a2

b

-b．
又

a2

b

是整數(shù)，∴將4與7擴大4倍得到16與28．
c=33．
∴△ABC的周長最小值為16+28+33=77．
故答案為：77．

點評：本題考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)進步關(guān)系式、三角函數(shù)的單調(diào)性、整數(shù)的理論，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．