Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公差d≠0．若a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比數(shù)列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（2）設(shè)c_n=log₃（2b_n-1），求和T_n=c₁c₂-c₂c₃+c₃c₄-c₄c₅+…+c_2n-1c_2n-c_2nc_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得（1+d）²=1×（1+4d），從而d=2，q=3，由此能求出bn=

3n-1+1

2

．
（2）由c_n=log₃（2b_n-1）=n-1，T_n=c₂（c₁-c₃）+c₄（c₃-c₅）+c₆（c₅-c₇）+…+c_2n（c_2n-1-c_2n+1）=-2（c₂+c₄+…+c_2n），能求出T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公差d≠0．
a_b1，a_b2，a_b3，…，a_bn，…成等比數(shù)列，且b₁=1，b₂=2，b₃=5．
∴a22=a1•a5，∴（1+d）²=1×（1+4d），
1+2d+d²=1+4d，
解得d=2或d=0（舍），
ab1=a1=1，ab2=3．∴q=3…（3分）
abn=1+(bn-1)×2=2bn-1=1×3n-1，
∴bn=

3n-1+1

2

…（6分）
（2）c_n=log₃（2b_n-1）=n-1…（7分），
T_n=c₂（c₁-c₃）+c₄（c₃-c₅）+c₆（c₅-c₇）+…+c_2n（c_2n-1-c_2n+1）
=-2（c₂+c₄+…+c_2n）
=-2[1+3+5+…+（2n-1）]
=-2n²…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．