Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，過F₁作圓O：x²+y²=

b2

4

的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)F₁E交橢圓于點(diǎn)P，若

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：判斷出E為PF的中點(diǎn)，據(jù)橢圓的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)；利用中位線的性質(zhì)，求出PF₂的長(zhǎng)度及判斷出PF₂垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出橢圓的離心率．

解答： 解：∵

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），
∴E為PF₁的中點(diǎn)，∴PF₂=2OE=b
∵E為切點(diǎn)，
∴OE⊥PF₁，
∴PF₂⊥PF₁，
∵PF₁+PF₂=2a
∴PF₁=-PF₂+2a=-b+2a
在Rt△PF₁F′中，PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
即b=

2

3

a，
∴c=

a2-b2

=

5

3

a，
∴離心率e=

c

a

=

5

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．