已知點,
的坐標(biāo)分別為
,
.直線
,
相交于點
,且它們的斜率之積是
,記動點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線
上的動點,直線
,
分別交直線
于點
,線段
的中點為
,求直線
與直線
的斜率之積的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記直線與
的交點為
,試探究點
與曲線
的位置關(guān)系,并說明理由.
(1)(
);(2)
;(3)點
在曲線
上.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點斜式求直線方程、中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問,設(shè)出P點坐標(biāo),利用斜率公式,求出直線AP、BP的斜率,計算得到曲線C的方程;第二問,設(shè)出Q點坐標(biāo),利用點斜式寫出直線AQ的方程,它與x=4交于M,則聯(lián)立得到M點坐標(biāo),同理得到N點坐標(biāo),利用中點坐標(biāo)公式得到后,將Q點橫坐標(biāo)
的范圍代入直接得到所求范圍;第三問,結(jié)合第二問得到直線AN和直線BM的方程,令2個方程聯(lián)立,得到T點坐標(biāo),通過計算知T點坐標(biāo)符合曲線C的方程,所以點T在曲線C上.
(1)設(shè)動點,則
(
且
)
所以曲線的方程為
(
). 4分
(2)法一:設(shè),則直線
的方程為
,令
,則得
,直線
的方程為
,
令,則得
, 6分
∵ =
∴,∴
8分
故
∵ ,∴
,
∴,
∴,
∴直線與直線
的斜率之積的取值范圍為
10分
法二:設(shè)直線的斜率為
,則由題可得直線
的斜率為
,
所以直線的方程為
,令
,則得
,
直線的方程為
,令
,則得
,
∴,
∴ 8分
故
∴直線與直線
的斜率之積的取值范圍為
10分
(3)法一:由(2)得,
,
則直線的方程為
,直線
的方程為
, 12分
由,解得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知拋物線的焦點為
,
為
上異于原點的任意一點,過點
的直線
交
于另一點
,交
軸的正半軸于點
,且有
.當(dāng)點
的橫坐標(biāo)為
時,
為正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直線,且
和
有且只有一個公共點
,
(。┳C明直線過定點,并求出定點坐標(biāo);
(ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為
,離心率
,
是橢圓上的動點.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與
的斜率乘積
,動點
滿足
,(其中實數(shù)
為常數(shù)).問是否存在兩個定點
,使得
?若存在,求
的坐標(biāo)及
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個焦點為
,且離心率為
.
(1)求橢圓方程;
(2)過點且斜率為
的直線與橢圓交于
兩點,點
關(guān)于
軸的對稱點為
,求△
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線上有一點
到焦點
的距離為
.
(1)求及
的值.
(2)如圖,設(shè)直線與拋物線交于兩點
,且
,過弦
的中點
作垂直于
軸的直線與拋物線交于點
,連接
.試判斷
的面積是否為定值?若是,求出定值;否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(2,0)的直線與橢圓
相交于兩點
,設(shè)
為橢圓上一點,且滿足
(
為坐標(biāo)原點),當(dāng)
<
時,求實數(shù)
取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2014·武漢模擬)已知點P是圓M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.
(1)當(dāng)P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過原點斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點C,直線BC交曲線Г于另一點D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2,點P(2,
),點F2在線段PF1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點,直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù),求證:直線l過定點,并求該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,
為坐標(biāo)原點,橢圓的右準(zhǔn)線與
軸的交點是
.
(1)點在已知橢圓上,動點
滿足
,求動點
的軌跡方程;
(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點
,求
的面積的最大值
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