Question

已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解　(1)證法1：∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，

y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x₁>x₂，則x₁－x₂>0，

f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝f(x₁－x₂)．

又∵x>0時(shí)，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，

即f(x₁)<f(x₂)．

因此f(x)在R上是減函數(shù)．

證法2：在R上任取x₁>x₂，

則f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)

＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)．

∵x>0時(shí)，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，

即f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在R上為減函數(shù)．

(2)∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.