17.已知函數(shù)f(x)=x3+x,若$2+f({log_{\frac{1}{a}}}2)>0$,則實數(shù)a的取值范圍是(0,1)∪(2,+∞).

分析 根據(jù)題意,易知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù),且f(1)=2,所以不等式$2+f({{{log}_{\frac{1}{a}}}2})>0$可化為f(loga2)<f(1),即loga2<1.對a的范圍分2種情況討論:①0<a<1時,②a>1時,分別求出a的范圍,綜合可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,對于f(x)=x3+x,其定義域為R,
有f(-x)=-(x3+x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù),
又由f′(x)=3x2+1>0,則函數(shù)f(x)為增函數(shù),
若$2+f({log_{\frac{1}{a}}}2)>0$,則有f(loga2)<f(1),
即loga2<1;
當(dāng)0<a<1時,loga2<0,則loga2<1恒成立,
當(dāng)a>1時,loga2<1⇒a>2,
綜合可得:a的取值范圍是(0,1)∪(2,+∞);
故答案為:(0,1)∪(2,+∞).

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運用,解題的關(guān)鍵是分析出函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性.

練習(xí)冊系列答案
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7.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{e^{-x}}-2,x≤0\\ 2ax-1,x>0\end{array}$(a>0),對于下列命題:
(1)函數(shù)f(x)的最小值是-1;
(2)函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
(3)若f(x)>0在($\frac{1}{2}$,+∞)上恒成立,則a的取值范圍是a>1,
其中真命題的序號是(1).

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8.已知經(jīng)過點A(-4,0)的動直線l與拋物線G:x2=2py(p>0)相交于B、C,當(dāng)直線l的斜率是$\frac{1}{2}$時,$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.
(Ⅰ)求拋物線G的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.

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5.某人玩擲骰子(骰子是一個質(zhì)地均勻的正方體,它的各面上分別標(biāo)有點數(shù)字1、2、3、4、5、6)的游戲,每輪擲兩次.第n輪擲出的點數(shù)依次為xn,yn.如果$\frac{2}{x_n}+\frac{2}{y_n}<1(n=1,2,…)$,則認為第n輪游戲過關(guān),游戲過關(guān)后,則游戲終止.如果某輪游戲不過關(guān),則下一輪繼續(xù)進行,直至過關(guān)后終止.
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12.為了得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos3x的圖象,可以將函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位.

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6.已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為λ,6,3λ,前n項和為Sn,且Sk=165.
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(2)設(shè)$_{n}=\frac{3}{2{S}_{n}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.三棱錐A-BCD,頂點A在平面BCD內(nèi)的射影為O,若AB=AC=AD,則點O為△BCD的(  )
A.內(nèi)心B.外心C.中心D.垂心

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