Question

函數(shù)y=sin²x+2cosx在區(qū)間[-

2π

3

，θ]上的最小值為-

1

4

，則θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，設(shè)t=cosx，有y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，而cosx≤1，可求得x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），在坐標系中畫出函數(shù)y=cosx的圖象后，數(shù)形結(jié)合即可求得θ的取值范圍．

解答： 解：由題意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，設(shè)t=cosx，
則函數(shù)y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，
∵cosx≤1，
∴t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），
在坐標系中畫出函數(shù)y=cosx的圖象：

由圖和x∈[-

2π

3

，θ]知，θ∈(-

2π

3

，

2π

3

]時，函數(shù)的最小值為-

1

4

，
故答案為：(-

2π

3

，

2π

3

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查分析、解答問題的能力，屬于中檔題．