Question

已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）求證：|a+b+c|≤

3

；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²對一切實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,不等式的證明

專題：計算題,證明題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²），即可得證；
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²對一切實數(shù)a，b，c恒成立，則由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，運用絕對值的定義，即可解出不等式．

解答： （Ⅰ）證明：由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²），
即有（a+b+c）²≤3，即有|a+b+c|≤

3

；
（Ⅱ）解：不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²對一切實數(shù)a，b，c恒成立，
則由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，
由x≥1得，2x≥3，解得，x≥

3

2

；
由x≤-1，-2x≥3解得，x≤-

3

2

，
由-1＜x＜1得，2≥3，不成立．
綜上，可得x≥

3

2

或x≤-

3

2

．
則實數(shù)x的取值范圍是（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查柯西不等式的運用，考查不等式恒成立問題，考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題．