【題目】在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F(xiàn),O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為 .
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點M的橫坐標為 ,直線l:y=kx+ 與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當 ≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.
【答案】
(1)解:由題意可知F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,
因為拋物線C的標準方程為y=﹣ ,
所以 ,即p=1,
因此拋物線C的方程x2=2y.
(2)解:假設(shè)存在點M(x0, ),(x0>0)滿足條件,
拋物線C在點M處的切線的斜率為
y′ = =x0.
令y= 得, ,
所以Q( ),
又|QM|=|OQ|,
故 ,
因此 .又x0>0.
所以x0= ,此時M( ).
故存在點M( ),使得直線MQ與拋物線C相切與點M.
(3)解:當x0= 時,由(Ⅱ)的Q( ),⊙Q的半徑為:r= = .
所以⊙Q的方程為 .
由 ,整理得2x2﹣4kx﹣1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于△=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=﹣ ,
所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).
由 ,整理得(1+k2)x2﹣ ,
設(shè)D,E兩點的坐標分別為(x3,y3),(x4,y4),
由于△= >0,x3+x4= ,x3x4= .
所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2﹣4x3x4]= ,
因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ ,
令1+k2=t,由于△=16k2+8>0 ,
≤k≤2,∴t≥
則 ,
所以|AB|2+|DE|2=t(4t﹣2)+ =4t2﹣2t+ ,
設(shè)g(t)=4t2﹣2t+ ,t ,因為g′(t)=8t﹣2﹣ ,
所以當t ,g′(t)≥g′( )=6,
即函數(shù)g(t)在t 是增函數(shù),所以當t= 時,g(t)取最小值 ,
因此當k= 時,|AB|2+|DE|2的最小值為 .
【解析】(1)通過F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,推出求出p=1,推出拋物線C的方程.(2)假設(shè)存在點M(x0 , ),(x0>0)滿足條件,拋物線C在點M處的切線的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出Q的坐標,利用|QM|=|OQ|,求出M( ).使得直線MQ與拋物線C相切與點M.(3)當x0= 時,求出⊙Q的方程為.利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韋達定理,求出|AB|2 . 同理求出|DE|2 , 通過|AB|2+|DE|2的表達式,通過換元,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值.
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【題目】下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( )
A.y=x+1
B.y=﹣x2
C.y=
D.y=x|x|
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【題目】已知動點P與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離的比值為2,點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程
(2)過點(﹣1,0)作直線與曲線C交于A,B兩點,設(shè)點M坐標為(4,0),求△ABM面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f (x)=x2,g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求實數(shù)b的取值范圍;
(2)設(shè)F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意m∈N* , 將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m , 92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm , 求數(shù)列{bm}的前m項和Sm .
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【題目】已知集合集合,集合,且集合D滿足.
(1)求實數(shù)a的值.
(2)對集合,其中,定義由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合:,,其中是有序?qū)崝?shù)對,集合S和T中的元素個數(shù)分別為和,若對任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì)P.
①請檢驗集合是否具有性質(zhì)P,并對其中具有性質(zhì)P的集合,寫出相應(yīng)的集合S和T.
②試判斷m和n的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2-5ax+4a2<0(其中a>0),q:實數(shù)x滿足2<x≤5.
(1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若q是p的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知拋物線C:y=(x+1)2與圓 (r>0)有一個公共點A,且在A處兩曲線的切線為同一直線l.
(1)求r;
(2)設(shè)m,n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m,n的交點為D,求D到l的距離.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,曲線和曲線交于,兩點,且,求實數(shù)的值.
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