Question

已知f（e^x）=x²-2x+3，x∈[2，3]
（1）求f（x）的解析式和定義域；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）首先使用換元法求函數(shù)的解析式，進一步求函數(shù)的定義域
（2）由（1）的結論，利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）解：f（e^x）=x²-2x+3   ①
設e^x=t則x=lnt，代入①式得f（t）=（lnt）²-2lnt+3，
∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3，
又x∈[2，3]，可得t=e^x∈[e²，e³]，則函數(shù)的定義域：[e²，e³]
（2）由（1）得，x∈[e²，e³]，即有l(wèi)nx∈[2，3]，
∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3=（lnx-1）²+2，函數(shù)f（x）在lnx∈[2，3]是單調遞增函數(shù)．
當x=e²時，f（x）_min=3，
當x=e³時，f（x）_max=6，
故答案為：（1）f（x）=（lnx）²-2lnx+3  x∈[e²，e³]，
（2）當x=e²時，f（x）_min=3；當x=e³時，f（x）_max=6．

點評：本題考查的知識點：換元法在求解析式中的應用，求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調性進行求函數(shù)的值域及相關的運算．