Question

在路邊安裝路燈,燈柱AB與地面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直,且∠ABC=120°,路燈C采用錐形燈罩,射出的光線如圖中陰影部分所示,已知∠ACD=60°,路寬AD=24 m,設燈柱高AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°).

(1) 求燈柱的高h(用θ表示);

(2) 若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同,記此用料長度和為S,求S關于θ的函數(shù)解析式,并求出S的最小值.

　(第11題)

Answer 1

　(第11題)

(1) 因為∠ABC=120°,∠ACB=θ,

所以∠BAC=60°-θ,因為∠BAD=90°,

所以∠CAD=30°+θ,

因為∠ACD=60°,

所以∠ADC=90°-θ.

在△ACD中,

因為=,

所以AC==16cos θ.

在△ABC中,因為=,

所以AB==16sin2θ,即h=16sin2θ.

(2) 在△ABC中,因為=,

所以BC==32cos θsin(60°-θ)=8+8cos 2θ-8sin 2θ,

則S=AB+BC=8+8cos 2θ+8sin 2θ=8+16sin(2θ+60°).

因為30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°.

所以當θ=45°時,S取得最小值為(8+8) m.