Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且滿(mǎn)足兩個(gè)條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對(duì)任意的{x，y}⊆A，至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．則稱(chēng)集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質(zhì)P．
如圖，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為a_ki=

1(k∈Ai) 0(k∉Ai)

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
?	?	?	?
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合組2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．
（Ⅱ）當(dāng)n=7時(shí)，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫(xiě)出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當(dāng)n=100時(shí)，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個(gè)數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)集合組的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
（Ⅱ）結(jié)合表格進(jìn)行求解；
（Ⅲ）結(jié)合數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（Ⅰ）集合組1具有性質(zhì)P．
所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2不具有性質(zhì)P．
因?yàn)榇嬖趝2，3}⊆{1，2，3，4}，
有A₀：0，1，1，3，0，0，
與對(duì)任意的A₁：1，0，1，3，0，0，都至少存在一個(gè)A₂：2，1，2，0，0，0，有A₃：3，0，2，0，0，0或A₄：4，1，0，0，0，0矛盾，所以集合組A₅：5，0，0，0，0，0不具有性質(zhì)A₄：4，0，0，0，0．
111111111111000000000
（Ⅱ）A₃：3，1，0，0，0．
（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同）
（Ⅲ）設(shè)A₂：2，0，2，0，0所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表A₁：1，1，2，0，0，
因?yàn)榧�合組A₀：0，0，1，3，0為具有性質(zhì)A₀：a₀，a₁，…，a_n的集合組，
所以集合組a_k=0滿(mǎn)足條件①和②，
由條件①：a_i＞0（0≤i≤k-1），
可得對(duì)任意T^-1，都存在T^-1有A₀，
所以{a_n}，即第a_i+i行不全為0，
所以由條件①可知數(shù)表i中任意一行不全為0．…
由條件②知，對(duì)任意的{a_n}，都至少存在一個(gè)P，使{a_n}或P，
所以{a_n}一定是一個(gè)1一個(gè)0，
即第{b_n}行與第{b_n}行的第b₁，b₂，b₃，…，b_n列的兩個(gè)數(shù)一定不同．
所以由條件②可得數(shù)表a₁，a₂，a₃，…，a_n中任意兩行不完全相同．
因?yàn)橛蓒b_n}所構(gòu)成的P元有序數(shù)組共有{a_n}個(gè)，去掉全是P的{a_n}元有序數(shù)組，共有n個(gè)，
又因數(shù)表Sn=

n

3

(n2-1)中任意兩行都不完全相同，
又當(dāng)滿(mǎn)足條件P時(shí)，由{b_n}所構(gòu)成的A元有序數(shù)組共有n個(gè)，去掉全是n∈[12，m²]（m≥5）的數(shù)組，共A個(gè)，
選擇其中的P個(gè)數(shù)組構(gòu)造n∈[m²+1，（m+1）²]行A列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿(mǎn)足條件①②，即具有性質(zhì)P．
所以n≥2．
因?yàn)閍_n=S_n-S_n-1等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù)，
所以，要使=

n

3

(n2-1)-

n-1

3

[(n-1)2-1]=n2-n取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少，
而a₁=0時(shí)，在數(shù)表an=n2-n(n∈N*)中，ai+i=i2(i=1，2，3，…)的個(gè)數(shù)為{a_n}的行最多P行；P的個(gè)數(shù)為{b_n}的行最多P行；P的個(gè)數(shù)為n=m²+j，1≤j≤2m+1的行最多（m+2）²-（m²+j）=4m+4-j行；h=4m+4-j-1的個(gè)數(shù)為1≤j≤2m+1，m≥5的行最多h=4m+4-j-1≥2m+2≥12行；
因?yàn)樯鲜龉灿衜²-h=m²-4m-4+j+1≥m²-4m-2行，
所以還有m²-4m-2=（m-2）²-6＞0行各有h＜m²個(gè)h∈[12，m²]，
所以此時(shí)表格中最少有n∈[12，m²]（m≥5）個(gè){a_n}．
所以P的最小值為：4m+4．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合集合的知識(shí)，綜合考查了數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列的運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．考查比較綜合．