Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDM；
（2）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)MO，由已知得MO∥PC，由此能證明PC∥平面BDM．
（2）由已知得BO⊥AC，BO⊥PA，從而B(niǎo)O⊥平面PAC，∠BMO是直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角，由此能求出直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角的大�。�

解答： （1）證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)MO，
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)，
∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴MO∥PC，
∵M(jìn)O?平面BDM，PC不包含于平面BDM，
∴PC∥平面BDM．
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BO⊥PA，
又PA∩AC=A，∴BO⊥平面PAC，
∴∠BMO是直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角，
∵PA=AC=

2

，BD=2

3

，
∴MO=

1

2

PC=

1

2

2+2

=1，BO=

1

2

BD=

3

，
∴tan∠BMO=

BO

MO

=

3

1

=

3

，
∴∠BMO=60°，
∴直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．