Question

某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，若每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P（萬件）與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）（4≤x≤10）之間滿足關(guān)系：P=

1

10

x2-

77

15

lnx+3．已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每產(chǎn)生1萬件次品將虧損1萬元．（利潤=盈利-虧損）
（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y（萬元）表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）為多少時(shí)所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得，所獲得的利潤為y=10[2（x-P）-P]=10（2x-3P），將P=

1

10

x2-

77

15

lnx+3代入化簡即可；
（2）求導(dǎo)y′=-6x+20+

154

x

=

-6x2+20x+154

x

=-

2(x-7)(3x+11)

x

，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性再求最值．

解答： 解：（1）由題意得，
所獲得的利潤為y=10[2（x-P）-P]=10（2x-3P），
又由P=

1

10

x2-

77

15

lnx+3得，
即y=-3x²+20x+154lnx-90，（4≤x≤10）
（2）由（1）知，
y′=-6x+20+

154

x

=

-6x2+20x+154

x

=-

2(x-7)(3x+11)

x

，
∴當(dāng)4≤x＜7時(shí)，y'＞0，函數(shù)在[4，7]上為增函數(shù)；
當(dāng)7＜x≤10時(shí)，y'＜0，函數(shù)在[6，10]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=7時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值
，最大利潤為154ln7-97（萬元）．
即：當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為7萬件時(shí)所獲得的利潤最大，最大利潤為154ln7-97萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．