Question

國(guó)慶期間襄陽(yáng)某體育用品專賣店抓住商機(jī)大量購(gòu)進(jìn)某特許商品進(jìn)行銷售，該特許產(chǎn)品的成本為20元/個(gè)，每日的銷售量y（單位：個(gè)）與單價(jià)x（單位：元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=

a

x-20

+4(x-50)2，（其中20＜x＜50，a為常數(shù)）．當(dāng)銷售價(jià)格為40元/個(gè)時(shí)，每日可售出該商品401個(gè)．
（1）求a的值及每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤(rùn)L（x）；
（2）試確定單價(jià)x的值，使所獲得的總利潤(rùn)L（x）最大．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意401=

a

40-20

+4•（40-50）²，從而求出參數(shù)值，再寫出總利潤(rùn)L（x）即可；
（2）化簡(jiǎn)L（x）=4x³-480x²+18000x-199980，求導(dǎo)L′（x）=12（x-30）（x-50），討論其正負(fù)從而確定單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵y=

a

x-20

+4(x-50)2，
∴401=

a

40-20

+4•（40-50）²，
解得，a=20；
∴y=

20

x-20

+4(x-50)2，
則每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤(rùn)
L（x）=y（x-20）=（

20

x-20

+4(x-50)2）（x-20）=20+4（x-20）•（x-50）²，（20＜x＜50）
（2）由L（x）=20+4（x-20）•（x-50）²=4x³-480x²+18000x-199980，
L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50），
則當(dāng)x∈（20，30）時(shí)，L′（x）＞0，L（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（30，50）時(shí)，L′（x）＜0，L（x）為減函數(shù)；
則當(dāng)x=30時(shí)，L_max（x）=16020．
即當(dāng)銷售單價(jià)為30元/個(gè)時(shí)，
所獲得的總利潤(rùn)最大，為16020元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．