Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax²-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a=1，若不等式f（1+x）+f（1-x）-m＜0對任意的0＜x＜1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論①當(dāng)a≥0時，②當(dāng)a＜0的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（1+x）+f（1-x），求出F′（x），得到F（x）在x∈（0，1）遞減，從而F（x）＜F（0）=0，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax，
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0，
①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）遞增；
②當(dāng)a＜0時，∴2ax²+2＞0?x²＜-

1

a

?-

- 1 a

＜x＜

- 1 a

，又x＞0，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，

-a

-a

），遞減區(qū)間是（

-a

-a

，+∞）；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+（1+x）²-1+2ln（1-x）+（1-x）²-1，
化簡得：F（x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，
F′（x）=

2

1+x

-

2

1-x

+4x=-

x3

1-x2

，
∵0＜x＜1，∴F′（x）＜0在0＜x＜1上恒成立，
∴F（x）在x∈（0，1）遞減，
∴F（x）＜F（0）=0，
∴m≥0，即m的范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是一道中檔題．