Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，若S_n=3a_n+2n．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列． 
（2）若b_n=n×（a_n-2），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式去證明相鄰項的比值是常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）利用（1）的結(jié)論，求出數(shù)列bn=-3n(

2

3

)n-1進一步設(shè)新數(shù)列，利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．

解答： 解：數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，若S_n=3a_n+2n．①
利用遞推關(guān)系式：S_n-1=3a_n-1+2（n-1）②
所以：①-②得：2a_n=3a_n-1-2
整理得：2（a_n-2）=3（a_n-1-2）

an-2

an-1-2

=

2

3

當(dāng)n=1時，a₁=-1
a₁-2=-3符合數(shù)列的通項公式
所以：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列．
（2）由（1）得：bn=-3n(

2

3

)n-1
設(shè)cn=n(

2

3

)n-1
則：數(shù)列{c_n}的前n項和，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•

2

3

0+2•

2

3

1+3•

2

3

2+n•

2

3

n-1③

2

3

Sn=1•

2

3

1+2•

2

3

2+3•

2

3

3+n•

2

3

n④
③-④得：

1

3

Sn=

3(1- 2 3 n)

1 3

-n•

2

3

n
整理得：Sn=9(1-

2

3

n)-3n

2

3

n
進一步求出：Tn=27(

2

3

n-1)+9n

2

3

n

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式去證明相鄰項的比值是常數(shù)，乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．屬于基礎(chǔ)題型．