Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，虛軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的離心率以及虛軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$，列出方程求出a，b即可求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求出m的值．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²+b²=5，c²=a²+b²，解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴所求雙曲線C的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$得x²-2mx-m²-2=0（判別式△=8m²+8＞0），
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，y₀=x₀+m-2m，
∵點(diǎn)M（x₀，y₀），在圓x²+y²=5上，∴m²+（2m）²=5，
∴m=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．