【題目】設(shè)，，以表示不是的因數(shù)的最小自然數(shù)，例如.若，又可作等等.如果，那么叫做的長(zhǎng)度.對(duì)一切，，用列舉法表示的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合是______.

【答案】

【解析】

記的長(zhǎng)度為L(zhǎng)n.

很明顯，若奇數(shù)n≥3，那么f(n)＝2，因此只須討論n為偶數(shù)的情況，

我們首先證明，對(duì)任何n≥3，f(n)＝ps，這里P是素?cái)?shù)，s為正整數(shù)．

假若不然，若f(n)有兩個(gè)不同的素因子，這時(shí)總可以將f(n)表為f(n)＝ab，其中a、b是大于1的互素的正整數(shù)．

由f的定義知，a與b都應(yīng)能整除n，因(a，b)＝1，故ab也應(yīng)整除n，這與f(n)＝ab矛盾．

所以f(n)＝ps．

由此可以得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，f(n)＝2，故Ln＝1；

(2)設(shè)n為大于2的偶數(shù)，如果f(n)＝奇數(shù)，那么f(f(n))＝2，這時(shí)Ln＝2；

如果f(n)＝2s，其中自然數(shù)s≥2，那么f(f(n))＝f(2s)＝3，從而f(f(f(n)))＝f(3)＝2，這時(shí)Ln＝3．

綜上可得，用列舉法表示的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】出租車(chē)幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車(chē)幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿(mǎn)足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來(lái)一樣，直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)定義它們之間的一種“距離”：，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：

（1）求線段上一點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”；

（2）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”方程，并求該“圓”圍成的圖形的面積；

（3）若點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”和點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”相等，其中實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)之和.

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