等比數列{a_n}中,a₁,a₂,a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數,且a₁,a₂,a₃中的任何兩個數不在下表的同一列.

已知等比數列{a_n}的所有項均為正數，首項a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)數列{a_n＋1－λa_n}的前n項和為S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求實數λ的值．

已知數列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求數列{a_n}的通項a_n；
(2)若數列{b_n}滿足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足6S_n＝＋3a_n＋2，且a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項．
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)記T_n＝a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_nb₁，n∈N^*，證明：3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝2a_n－1；數列{b_n}滿足b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，b₁＝1.
(1)求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
(2)求數列的前n項和T_n.

在數列中，，，設．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和；
（3）若，為數列的前項和，求不超過的最大的整數．

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n＋1是關于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0的兩根，且a₁＝1.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)求數列{a_n}的前n項和S_n；
(3)設函數f(n)＝b_n－t·S_n(n∈N^*)，若f(n)＞0對任意的n∈N^*都成立，求t的取值范圍．

已知等比數列{a_n}滿足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設數列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n－2對一切n∈N^*恒成立，求實數k的取值范圍．

已知數列{a_n}的前n項和S_n＝n²(n∈N^*)，等比數列{b_n}滿足b₁＝a_1,2b₃＝b₄.
(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
(2)若c_n＝a_n·b_n(n∈N^*)，求數列{c_n}的前n項和T_n.

定義:若數列{A_n}滿足A_n+1=,則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”.已知數列{a_n}中,a₁=2,點(a_n,a_n+1)在函數f(x)=2x²+2x的圖象上,其中n為正整數.
(1)證明:數列{2a_n+1}是 “平方遞推數列”,且數列{lg(2a_n+1)}為等比數列.
(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為T_n,即T_n=(2a₁+1)(2a₂+1)…(2a_n+1),求數列{a_n}的通項公式及T_n關于n的表達式.