某學(xué)科競(jìng)賽的預(yù)賽考試分為一試和加試兩部分測(cè)試，且規(guī)定只有一試考試達(dá)標(biāo)著才可以進(jìn)入加試考試，一試考試和
加試考試都達(dá)標(biāo)才算優(yōu)勝者，從而進(jìn)入決賽，一試試卷包括三個(gè)獨(dú)立的必做題目，加試包括兩個(gè)獨(dú)立的必做題目，若一試考試至少答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題就認(rèn)定為達(dá)標(biāo)，加試需兩個(gè)題目都答對(duì)才算達(dá)標(biāo)，假設(shè)甲同學(xué)一試考試中答對(duì)每個(gè)題的概率均為

2

3

，加試考試中答對(duì)每個(gè)題的概率都為

1

2

，且各題答題情況均互不影響．
（1）求甲同學(xué)成為優(yōu)勝者，順利進(jìn)入決賽的概率； 
（2）設(shè)甲同學(xué)解答的題目的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望．

已知矩陣M=

a 1 1 b

，若向量

-2 1

在矩陣M的交換下得到向量

1 2

（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）矩陣N=

1 0 2 1

，求直線x+y+1=0在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線方程．

在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=5，b=2，△ABC的面積S_△ABC=3．
（1）求cos（A+B）的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+2C），求f（

π

3

）的值．

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)線段A₁C與平面ABC₁D₁交于Q，求證：B、Q、D₁三點(diǎn)共線．

已知f（x）=log₂[（2-x）（2+x）]
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求使f（x）＞1的取值范圍．

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）試比較f（

1

2n

）與

1

2n

+2的大�。╪∈N）；
（3）若對(duì)任意x∈（0，1]，總存在n（n∈N），使得

1

2n+1

＜x≤

1

2n

，求證：對(duì)任意x∈（0，1]，都有f（x）≤2x+2．

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=（1-2a）x²的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)b_n=

1

2

f′（n）-n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e對(duì)一切正整數(shù)n均成立，并比較S₂₀₁₄-2與ln2014的大�。�

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知點(diǎn)M、N分別是A₁A、A₁B₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PB₁C；
（Ⅱ）求異面直線MN與PB₁的夾角．

隨機(jī)抽取某中學(xué)高一級(jí)學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)得到一樣本，其分組區(qū)間和頻數(shù)是：[50，60），2；[60，70）；7；[70，80），10；[80，90），x；[90，100]，2．其頻率分布直方圖受到破壞，可見(jiàn)部分如圖所示，據(jù)此解答如下問(wèn)題：
（1）求樣本的人數(shù)及x的值；
（2）估計(jì)樣本的眾數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高
（3）從成績(jī)不低于80分的樣本中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

已知圓C：x²+y²=4，直線l：y-kx+2=0
（1）k=1時(shí)判斷圓C和直線的位置關(guān)系．
（2）若圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，求實(shí)數(shù)k的值．