【題目】如圖，在正方體中， 分別是棱的中點(diǎn)， 為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.

（1）證明： 為的中點(diǎn)；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨令正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，利用，解得，即可證得；

（2）分別求得平面與平面的法向量，利用求解即可.

試題解析：

（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨令正方體的棱長(zhǎng)為2，

則， ， ， ， ，

設(shè)，則， ，

所以 ，

所以，解得（舍去），即為的中點(diǎn).

（2）解：由（1）可得， ，

設(shè)是平面的法向量，

則.令，得.

易得平面的一個(gè)法向量為，

所以.

所以所求銳二面角的余弦值為.

點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，且橢圓過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值.

【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品銷售收入（單位：萬(wàn)元）存在較好的線性關(guān)系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大還是投入成本24萬(wàn)元的毛利率更大（）？

相關(guān)公式： ， .

【答案】（1）.（2）投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大.

【解析】試題分析：（1）由回歸公式，解得線性回歸方程為；（2）當(dāng)時(shí)， ，對(duì)應(yīng)的毛利率為，當(dāng)時(shí)， ，對(duì)應(yīng)的毛利率為，故投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大。

試題解析：

（1）， ，

， ，故關(guān)于的線性回歸方程為.

（2）當(dāng)時(shí)， ，對(duì)應(yīng)的毛利率為，

當(dāng)時(shí)， ，對(duì)應(yīng)的毛利率為，

故投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】如圖，在正方體中， 分別是棱的中點(diǎn)， 為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.

（1）證明： 為的中點(diǎn)；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【題目】定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

Ⅰ.寫出在上的解析式；

Ⅱ.求出在上的最大值；

Ⅲ.若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出線段的中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.

試題解析：（（1）設(shè) 線段的中點(diǎn)為，∵，

∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，

∴.

∴圓的方程為.

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，

則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.

故滿足條件的切線方程為或.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品銷售收入（單位：萬(wàn)元）存在較好的線性關(guān)系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大還是投入成本24萬(wàn)元的毛利率更大（）？

相關(guān)公式： ， .

【題目】對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

（1）求出表中及圖中的值；

（2）若該校高一學(xué)生有800人，試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù).

【答案】（1）， ， ；（2）人.

【解析】試題分析：（1）由題意， 內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知， ，所以，則， .（2）高一學(xué)生有800人，分組內(nèi)的頻率是，人數(shù)為人.

試題解析：

（1）由內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知， ，所以.

因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以， .

.

因?yàn)?/span>是對(duì)應(yīng)分組的頻率與組距的商，所以.

（2）因?yàn)樵撔８咭粚W(xué)生有800人，分組內(nèi)的頻率是，

所以估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.

【題型】解答題
【結(jié)束】
18

【題目】已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn).

（1）設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)， 到直線的距離為，點(diǎn)，求的最小值；

（2）求.

【題目】已知函數(shù)，。

Ⅰ.求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

Ⅱ.當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Ⅲ.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，求的最小值。

【題目】已知定義在[﹣ ， ]的函數(shù)f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（ ，2]
B.（﹣∞， ）∪[2，+∞）
C.[﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）

Ⅰ.設(shè)月用電x度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

Ⅱ.小明家第一季度繳納電費(fèi)情況如下：

問小明家第一季度共用多少度？