Question

11．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy中，過原點的直線OC與x軸正向的夾角ψ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，其上邊界與電場邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點射入磁場區(qū)域，并從O點射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v，粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍．粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場．已知粒子從A點射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期．忽略重力的影響．求：
（1）粒子經(jīng)過A點時速度的方向和A點到x軸的距離；
（2）粒子兩次經(jīng)過O點的時間間隔；
（3）勻強(qiáng)電場的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合運(yùn)動的軌跡圖象，判斷出圓周運(yùn)動的圓心即兩虛線的交點，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，粒子的速度和A到y(tǒng)軸的距離；
（2）（3）粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運(yùn)動的方向相反，則電場方向必與v相反；根據(jù)時間關(guān)系求出粒子在電場中運(yùn)動的時間，進(jìn)而求出電場的強(qiáng)度和方向；

解答 解：（1）粒子第一次進(jìn)入磁場時弧的半徑為磁場左右邊界間距的2倍，如圖做運(yùn)動的軌跡，則圓周運(yùn)動的圓心即兩虛線的交點．進(jìn)入磁場時速度必垂直于磁場邊界，由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{v2}{R}$，
得：R=$\frac{mv}{qB}$，
A點到x軸的距離為：$L=R（1-cos30°）=\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）（3）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T，則：vT=2πR
所以：$T=\frac{2πm}{qB}$，在磁場中運(yùn)動的時間為${t}_{1}=\frac{3{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{12}$
粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運(yùn)動的方向相反，則電場方向必與v相反，再次進(jìn)入磁場時速度方向也與v相反，將向y軸負(fù)方向偏轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動，運(yùn)動的軌跡如圖1所示：
運(yùn)動時間為${t}_{3}=\frac{12{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{3}$，
則在電場中運(yùn)動的時間為：${t}_{2}=T-{t}_{1}-{t}_{3}=\frac{7T}{12}$
（3）在電場中的運(yùn)動有：-v=v-$\frac{qE}{m}$t₂，
求得：$E=\frac{12Bv}{7π}$
答：（1）粒子經(jīng)過A點時的速度方向平行于X軸，A點到x軸的距離$\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）粒子兩次經(jīng)過O點的時間間隔為$\frac{7T}{12}$．
（3）電場方向與v相反，大小$\frac{12Bv}{7π}$；

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，正確地畫出運(yùn)動的軌跡是解題的關(guān)鍵；同時注意電場中做類平拋運(yùn)動；而在磁場中做的是圓周運(yùn)動，要根據(jù)不同的運(yùn)動性質(zhì)進(jìn)行分析；題目的難度較大．