Question

12．如圖所示，足夠大的熒光屏ON垂直于直角坐標平面xOy，且與x軸夾角為37°，當y軸與ON間有沿y軸正方向、場強為E的勻強電場時，一質(zhì)量為m、電荷量為q的負離子從y軸上的P點，以速度v₀、沿x軸的正方向射入電場，離子垂直打到熒光屏上的某點；現(xiàn)撤去電場，在y軸與ON間加上垂直坐標平面向里的勻強磁場，相同的離子仍以速度v₀從y軸上的Q點也沿x軸的正方向射入磁場，離子恰好也垂直打到熒光屏上的同一點，離子的重力不計．試求：
（1）離子在電場中運動的時間t₁；
（2）P點的縱坐標y₁和離子在磁場中運動的加速度大小a；
（3）若相同的離子分別從y軸上的不同位置以速度v=ky（y＞0，k為常數(shù)），沿x軸的正方向射入磁場，要使離子都打到熒光屏上，k應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）離子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規(guī)律可以求出離子的運動時間．
（2）作出離子運動軌跡，根據(jù)幾何知識求出距離，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）作出離子運動軌跡，應用牛頓第二定律求出離子的臨界軌道半徑，然后分析答題．

解答 解：（1）設離子垂直打到熒光屏上的M點時，沿y方向的分速度大小為v_y，在電場中運動的加速度為a₁，
則：${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{tan3{7}^{o}}$，
由牛頓第二定律得：qE=ma₁，
豎直分速度：v_y=a₁t₁，
解得：${t}_{1}=\frac{4m{v}_{0}}{qE}$；

（2）由幾何關系可知：${y}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}+{v}_{0}{t}_{1}tan3{7}^{o}$，
解得：${y}_{1}=\frac{17m{v}_{0}^{2}}{9qE}$，
設離子在磁場中做圓周運動半徑為y₂，則：${y}_{2}cos3{7}^{o}={v}_{0}{t}_{1}$，
而：$a=\frac{v_0^2}{y_2}$，
解得：$a=\frac{3qE}{5m}$；
（3）如圖所示，設從縱坐標為y處射入磁場的離子，
恰好能打到熒光屏上，對應的圓周運動半徑為r₀，

由幾何知識得：
${r}_{0}+\frac{{r}_{0}}{cos3{7}^{o}}=y$
此離子進入磁場時的速度v=ky，設運動半徑為r，
由牛頓第二定律得：$qBv=m\frac{v^2}{r}$，
為使離子能打到熒光屏上應滿足：r≥r₀，
由牛頓第二定律得：qBv₀=ma，
解得：$k≥\frac{4qE}{15m{v}_{0}}$ 
答：（1）離子在電場中運動的時間t₁為$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$；
（2）P點距O點的距離y₁為$\frac{17m{v}_{0}^{2}}{9qE}$，離子在磁場中運動的加速度大小a為$\frac{3qE}{5m}$；
（3）k應滿足的條件是$k≥\frac{4qE}{15m{v}_{0}}$．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚離子運動過程，作出粒子運動軌跡，應用類平拋運動規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題，解題時要注意幾何知識的應用．