Question

15．如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N豎直放置，小孔S₁、S₂與O在同一水平線上，且S₂O=2R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線水平．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子經(jīng)S₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過(guò)S₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子在S₁處的速度以及粒子所受的重力均不計(jì)．
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求M、N間的電壓值U₀；
（2）若有一質(zhì)量為km、帶電量為+q的粒子在其它條件不變的情況下經(jīng)S₁進(jìn)入后，恰好打在收集板D的左端點(diǎn)上，求k的大��；
（3）若將平行金屬板M、N豎直下移，質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子經(jīng)S₁進(jìn)入后，恰好打在收集板D的右端點(diǎn)上，求平行金屬板M、N下移的距離x．（本題結(jié)果均用m、q、B₀、R表示）

Answer 1

分析 （1）（2）粒子在電場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)，粒子所受電場(chǎng)力做功，能求出粒子的速度．粒子在MN間做加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理可以求出加速電場(chǎng)電壓．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子從s₂到打在D上畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可解得．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$q{v}_{1}{B}_{0}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，
由幾何關(guān)系可知，r₁=R，
聯(lián)立解得${U}_{0}=\frac{q{{B}_{0}}^{2}{R}^{2}}{2m}$．
（2）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$q{v}_{2}{B}_{0}=km\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，
由幾何關(guān)系可知，${r}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$，
聯(lián)立解得$k=\frac{1}{3}$．
（3）如圖所示所，根據(jù)相似三角形知識(shí)有：$\frac{x}{R}=\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+（\sqrt{3}R-R）^{2}}}$
解得x=$\frac{R}{\sqrt{5-2\sqrt{3}}}$．
答：（1）M、N間的電壓值為$\frac{q{{B}_{0}}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）k的大小為$\frac{1}{3}$；
（3）平行金屬板M、N下移的距離為$\frac{R}{\sqrt{5-2\sqrt{3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子先經(jīng)電場(chǎng)加速，后經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)幾何知識(shí)分析粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)半徑的關(guān)系．