Question

13．假設(shè)在某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，它貼近該天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T(mén)，已知萬(wàn)有引力常量為G，可求得該天體的平均密度為$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出天體的質(zhì)量，結(jié)合天體的體積求出天體的密度．

解答 解：根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得天體的質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根據(jù)密度的定義式得天體的密度為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
故答案為：$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，結(jié)合軌道半徑和周期求解中心天體的質(zhì)量．