Question

9．一同學(xué)要研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧長(zhǎng)度改變量的關(guān)系．實(shí)驗(yàn)裝置如下圖甲所示，在離地面高為h的光滑水平桌面上，沿著與桌子右邊緣垂直的方向放置一輕質(zhì)彈簧，其左端固定，右端與質(zhì)量為m的小剛球接觸．將小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，使小球沿水平方向射出桌面，小球在空中飛行落到位于水平地面的記錄紙上留下痕跡．重力加速度為g

（1）若測(cè)得某次壓縮彈簧釋放后小球落點(diǎn)P痕跡到O點(diǎn)的距離為s，則釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）該同學(xué)改變彈簧的壓縮量進(jìn)行多次測(cè)量得到下表一組數(shù)據(jù)：

彈簧壓縮量x/cm	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
小球飛行水平距離s/×102cm	2.01	3.00	4.01	4.98	6.01	6.99

結(jié)合（1）問與表中數(shù)據(jù)，彈簧彈性勢(shì)能與彈簧壓縮量x之間的關(guān)系式應(yīng)為$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$；
（3）完成實(shí)驗(yàn)后，該同學(xué)對(duì)上述裝置進(jìn)行了如圖乙所示的改變：
（I）在木板表面先后釘上白紙和復(fù)寫紙，并將木板豎直立于靠近桌子右邊緣處，使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板并在白紙上留下痕跡O；
（II）將木板向右平移適當(dāng)?shù)木嚯x固定，再使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板上得到痕跡P；
（III）用刻度尺測(cè)量紙上O點(diǎn)到P點(diǎn)的豎直距離為y．若已知木板與桌子右邊緣的水平距離為L(zhǎng)，則（II）步驟中彈簧的壓縮量應(yīng)該為$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

Answer 1

分析 （1）彈簧釋放后，小球在彈簧的彈力作用下加速，彈簧與小球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小球離開桌面后，做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可以求平拋的初速度，根據(jù)以上原理列式即可；
（2）先從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出彈簧的壓縮量與小球的射程的關(guān)系；再結(jié)合第一小問中結(jié)論得到彈性勢(shì)能與小球的射程的關(guān)系，最后綜合出彈簧的彈性勢(shì)能E_P與彈簧長(zhǎng)度的壓縮量x之間的關(guān)系．
（3）根據(jù)（1）中推導(dǎo)公式可求出對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能，再根據(jù)（2）關(guān)系式可求得對(duì)應(yīng)的壓縮量．

解答 解：（1）小球射出桌面后，做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上有s=vt，在豎直方向上有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，聯(lián)立可得v=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒定律，故有E_P=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）從數(shù)據(jù)中可以s=200x，因?yàn)镋_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，所以彈簧彈性勢(shì)能與彈簧壓縮量x之間的關(guān)系式應(yīng)為：
E_P=$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$
（3）因?yàn)镋_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，小球釋放前壓縮彈簧的彈性勢(shì)能為：
E_P=$\frac{mg{L}^{2}}{4y}$
聯(lián)立得（II）步驟中彈簧的壓縮量應(yīng)該為x=$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$
故答案為：（1）$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$； （2）$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$； （3）$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題首先是考察了平拋運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，解決關(guān)于平拋運(yùn)動(dòng)的問題常用的方法是沿著水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分解，運(yùn)用各方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行解答．利用x與s之間的關(guān)系求出彈簧彈性勢(shì)能與彈簧壓縮量x之間的關(guān)系式．考察了在現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)驗(yàn)改裝后的情況進(jìn)行分析求解，考察了同學(xué)們的應(yīng)變能力．還考察了對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的分析能力．