Question

12．如圖甲所示，相距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在以O(shè)O′為右邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直導(dǎo)軌平面向下，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在距邊界OO′也為L處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻r的金屬桿ab．

（1）若金屬桿ab固定在導(dǎo)軌上的初位置，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度在t時(shí)間內(nèi)由B均勻減小到零，求此過程中電阻R上產(chǎn)生的電量q．
（2）若ab桿在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)3L距離，其速度-位移的關(guān)系圖象如圖乙所示（圖中所示量為已知量）．求此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁．
（3）若ab桿固定在導(dǎo)軌上的初始位置，使勻強(qiáng)磁場(chǎng)保持大小不變繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．若磁場(chǎng)方向由圖示位置開始轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$的過程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂．則磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω大小是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律列式求解平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路歐姆定律求解平均電流，根據(jù)電流的定義求解電量q；
（2）對(duì)桿運(yùn)動(dòng)L的過程運(yùn)用功能關(guān)系列式，對(duì)接下來的2L位移過程再次根據(jù)動(dòng)能定理列式，根據(jù)焦耳定律得到電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱與電路中總的焦耳熱的關(guān)系，最后聯(lián)立求解；
（3）磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，可等效為矩形閉合電路在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中反方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)E_m=BSω求解最大值，根據(jù)$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$求解有效值，最后根據(jù)焦耳定律列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有：
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B}{t}{L^2}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
$I=\frac{E}{R+r}$
電量：
q=It
聯(lián)立解得：
$q=\frac{{B{L^2}}}{R+r}$
（2）ab桿由起始位置發(fā)生位移L的過程，根據(jù)功能關(guān)系，有：
 $FL=\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_總}$
ab桿從L到3L的過程中，由動(dòng)能定理可得：
$2FL=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
聯(lián)立解得：
${Q_總}=\frac{m（v_2^2-3v_1^2）}{4}$
根據(jù)焦耳定律，有：
${Q_1}=\frac{R}{R+r}$Q_總
聯(lián)立解得：
${Q_1}=\frac{Rm（v_2^2-3v_1^2）}{4（R+r）}$
（3）磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，可等效為矩形閉合電路在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中反方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以閉合電路中產(chǎn)生正弦式電流，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的峰值：
${E_m}=BSω=B{L^2}ω$
有效值：
$E=\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}$
根據(jù)焦耳定律，有：
${Q_2}=\frac{E^2}{R+r}•\frac{T}{4}$
而$T=\frac{2π}{ω}$，則：
$ω=\frac{{4（R+r）{Q_2}}}{{π{B^2}{L^4}}}$
答：（1）此過程中電阻R上產(chǎn)生的電量q為$\frac{B{L}^{2}}{R+r}$．
（2）此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{Rm（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）}{4（R+r）}$．
（3）磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω大小是$\frac{4（R+r）{Q}_{2}}{π{B}^{2}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是區(qū)分交流四值，知道求解電量用平均值、求解熱量用有效值，同時(shí)要結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律列式求解，不難．