Question

【題目】如圖所示的豎直平面內(nèi)，相距為d不帶電且足夠大的平行金屬板M、N水平固定放置，與燈泡L、開關(guān)S組成回路并接地，M板上方有一帶電微粒發(fā)射源盒D，燈泡L的額定功率與額定電壓分別為PL、UL.電荷量為q、質(zhì)量為m1的帶電微粒以水平向右的速度v0連續(xù)發(fā)射，D盒右端口距M板高h，帶電微粒落到M板上后其電荷立即被吸收且在板面均勻分布，在板間形成勻強(qiáng)電場，當(dāng)M板吸收一定電量后閉合開關(guān)S，燈泡能維持正常發(fā)光，質(zhì)量為m2的帶電粒子Q以水平速度從左側(cè)某點(diǎn)進(jìn)入板間，并保持該速度穿過M、N板.設(shè)帶電微�？梢暈橘|(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，忽略帶電微粒間的相互作用及空氣阻力，試分析下列問題：

（1）初始時帶電微粒落在M板上的水平射程為多少?

（2）粒子發(fā)射源的發(fā)射功率多大？

（3）若在M、N板間某區(qū)域加上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，使Q粒子在紙面內(nèi)無論從左側(cè)任何位置以某最小的水平速度進(jìn)入，都能到達(dá)N板上某定點(diǎn)O，求該Q粒子的最小速度和所加磁場區(qū)域為最小時的幾何形狀及位置。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），磁場的最小區(qū)域為圓，半徑為d，圓心為距O點(diǎn)d的板間中心處

【解析】（1）由題知，在初始時M板不帶電，帶電微粒在空間做平拋運(yùn)動．設(shè)帶電微粒到達(dá)M板的時間為t1，水平射程為l1，有：
h＝gt12…①
l1=v0t1…②
聯(lián)立①、②，得…③
（2）燈泡正常發(fā)光，金屬板M、N間的電壓為UL，由電容器知識可知，金屬板M、N所帶電量為定值．這時落到板M的電量全部流過燈泡．設(shè)流過燈泡的電流為IL，在時間t內(nèi)流過燈泡的電量為QL，有PL=ILUL…④QL=ILt…⑤
設(shè)單位時間發(fā)射帶電微粒的個數(shù)為n，有QL=nqt…⑥
聯(lián)立④⑤⑥，得 …⑦
根據(jù)功率知識，有 …⑧
（3）閉合開關(guān)S后，M、N板間為勻強(qiáng)電場，Q進(jìn)入后速度不變，則說明Q所受電場力與重力平衡，設(shè)Q粒子電荷量為q2有q2

=m2g，q2＝ …⑨
再進(jìn)入磁場區(qū)域必做勻速圓周運(yùn)動．以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，Q進(jìn)入板間做勻速直線運(yùn)動，到達(dá)G點(diǎn)時進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動到達(dá)O點(diǎn)．設(shè)Q做勻速圓周運(yùn)動的圓心為C，半徑為r，OC與水平方向的夾角為θ，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），有
x=-rcosθ…⑩
y=r+rsinθ…（11）
聯(lián)立⑨⑩式，得
x2+（y-r）2=r2…（12）
由（12）式知道磁場在y軸左邊的邊界為半圓，要讓Q粒子以最小速度在板間任何位置水平入射進(jìn)入且又要該圓為最小，必有r=d…（13）
Q靠近M板進(jìn)入磁場時做勻速圓周運(yùn)動的軌跡為y軸右邊的半圓，其方程為

x2+(y)2＝()2…（14）
Q從其它位置進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動的軌跡不會超出y軸與此半圓所圍區(qū)域，故磁場在y軸右邊區(qū)域最小的邊界也為該半圓，則磁場的最小區(qū)域為圓，半徑為d，圓心為距O點(diǎn)d的板中心處．