Question

11．如圖所示AB為一半徑為R，在豎直平面內(nèi)放置的絕緣$\frac{1}{4}$圓弧，且OA豎直，在豎直平面內(nèi)施加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的小球恰能在與OA連線夾角為30°處?kù)o止．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的最小值；
（2）若勻強(qiáng)電場(chǎng)向水平向右且E=$\frac{mg}{q}$，將帶電小球從A點(diǎn)靜止釋放，則小球的最大速度多大？

Answer 1

分析 小球保持靜止時(shí)受到重力、電場(chǎng)力和圓弧的支持力，運(yùn)用作圖法分析什么條件下電場(chǎng)力最小，再場(chǎng)強(qiáng)公式E=$\frac{F}{q}$得到場(chǎng)強(qiáng)的最小值；求電場(chǎng)力與重力的合力，確定小球的最大速度位置，由動(dòng)能定律求解．

解答 解：（1）小球保持靜止時(shí)受到重力mg、電場(chǎng)力F和圓弧的支持力T，作出力圖如圖．根據(jù)作圖法可知，當(dāng)電場(chǎng)力F與圓弧的支持力T垂直時(shí)，電場(chǎng)力最小，最小值為：
F=mgsinθ
則場(chǎng)強(qiáng)的最小值為：E=$\frac{F}{q}$=$\frac{mgsinθ}{q}$
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)向水平向右且E=$\frac{mg}{q}$，則mg與qE的合力與豎直方向夾45°斜向下，故AB弧的中點(diǎn)速度最大，由動(dòng)能定理得：
qERsin45°-mgR（1-cos45°）=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）gR}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的最小值$\frac{mgsinθ}{q}$；
（2）小球的最大速度$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）gR}$

點(diǎn)評(píng) 本題是物體平衡中極值問(wèn)題，通過(guò)作圖法得到極值的條件，也可以采用數(shù)學(xué)函數(shù)法求解極值．