Question

13．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁（a，0），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)速度方向沿x軸正方向時(shí)，粒子恰好從O₁點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）速度方向沿x軸正方向的粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入第一象限，當(dāng)速度方向沿x軸正方向的夾角θ=30°時(shí)，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系先得到圓心、半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）粒子離開磁場(chǎng)后，進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，先得到第一次圓心和射出點(diǎn)，進(jìn)入電場(chǎng)后，又沿原路返回，再得到第二次圓心和射出點(diǎn)，最后得到總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，牛頓第二定律
有 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子自A點(diǎn)射出，由幾何知識(shí)  R=a，
解得B=$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子從A點(diǎn)向上在電場(chǎng)中做勻減運(yùn)動(dòng)，設(shè)在電場(chǎng)中減速的距離為y₁
由$-qE{y}_{1}=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
得${y}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{2qE}$．
所以在電場(chǎng)中最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）  
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的周期  T=$\frac{2πa}{v}$，
粒子從磁場(chǎng)中的P點(diǎn)射出，因磁場(chǎng)圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，OO₁PO₂構(gòu)成菱形，故粒子從P點(diǎn)的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ₁=60°
由幾何知識(shí)可知，粒子由P點(diǎn)到x軸的距離
S=acosθ，
粒子在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{2mv}{qE}$，
粒子由P點(diǎn)第2次進(jìn)入磁場(chǎng)，由Q點(diǎn)射出，PO₁QO₃ 構(gòu)成菱形，由幾何知識(shí)可知Q點(diǎn)在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為θ₂=120°  
則θ₁+θ₂=π  
粒子先后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間${t}_{2}=\frac{T}{2}$，
粒子在場(chǎng)區(qū)之間做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ${t}_{3}=\frac{2（a-S）}{v}$，
解得粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{mv}{qa}$．
（2）速度方向沿x軸正方向的粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)為（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）
（3）粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間為$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵先確定圓心、半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問關(guān)鍵先根據(jù)題意，分析后畫出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再列式計(jì)算．