Question

12．自然界時刻發(fā)生著你死我活的奔跑賽，膽小勢弱的羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過x₁=50m的距離能加速到最大速度v₁=25m/s，并能維持該速度一段較長的時間；獵豹從開始奔跑，經(jīng)過x₂=60m的距離能加速到最大速度v₂=30m/s，以后只能維持這個速度t₀=4.0s，接著做加速度大小為a=2.5m/s²的勻減速運(yùn)動直到停止． 設(shè)獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后t'=0.5s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑． 則：
（1）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？
（2）獵豹要在其減速前追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？
（3）獵豹要能夠追上羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？

Answer 1

分析 這是追及相遇問題，（1）（2）兩個問題，指獵豹在加速和勻速追到羚羊，肯定能追上，主要從位移關(guān)系列式求解，（3）主要考慮獵豹在減速階段追到羚羊，一定要在兩者速度相等之前追上，這是能否追上的臨界條件．抓住速度相等，位移的關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）羚羊做加速運(yùn)動的加速度大小為：a₁═$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{x}_{1}}=\frac{2{5}^{2}}{2×50}$m/s²=6.25 m/s²
羚羊做加速運(yùn)動的時間為：t₁═$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{25}{6.25}$s=4.0 s 
而獵豹做加速運(yùn)動的加速度為：a₂═$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{x}_{2}}=\frac{3{0}^{2}}{2×60}$m/s²=7.5 m/s²
獵豹做加速運(yùn)動的時間為：t₂═$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{30}{7.5}$s=4.0 s 
因t₂=t₁，獵豹要在其加速階段追上羚羊，獵豹運(yùn)動的時間t≤4 s
所以，獵豹追上羚羊時，羚羊也正在加速運(yùn)動，則有：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}≥\frac{1}{2}{a}_{1}（t-t'）^{2}+x$
解得：x≤21.7 m．
（2）設(shè)獵豹在維持最大速度的時間內(nèi)追到羚羊，由題意得總時間：t≤8.0 s
由t₂=t₁可知，當(dāng)獵豹進(jìn)入勻速運(yùn)動過程0.5 s后，羚羊?qū)⒆鰟蛩龠\(yùn)動．所以，當(dāng)獵豹追到羚羊時，羚羊早已在做勻速運(yùn)動，只是勻速運(yùn)動的時間比獵豹少
了0.5 s，則有：x₂+v₂t₀≥x₁+x+v₁（t₀-t'）
解得：x≤42.5 m　
綜合（1）問可知：21.7 m＜x≤42.5 m．
（3）當(dāng)獵豹的速度減到與羚羊的速度相等時，如果還追不上羚羊則永遠(yuǎn)追不上了．
獵豹減速到與羚羊速度相等的時間為：t″═2 s　
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，有：x₂+v₂t₀+≥x₁+x+v₁（t₀+t″-t'）　
解得：x≤47.5 m．
答：（1）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值范圍x≤21.7 m；
（2）獵豹要在其減速前追到羚羊，x值范圍21.7 m＜x≤42.5 m；
（3）獵豹要能夠追上羚羊，x值范圍x≤47.5 m．

點評 追及相遇問題：（1）一定能追上；速度相等時兩者距離最大．（2）有可能追上，在兩者速度相等時①沒有追上，此時距離最小；②剛好追上，只能相遇1次或恰好相遇；③超過，相遇2次或在此之前已經(jīng)發(fā)生相撞．從時間、位移、速度三個角度列式求解．